Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, ta có bất đẳng thức:
\(\frac{x^n\left(x^{n+1}+1\right)}{x^n+1}\le\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2n+1}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, ta có bất đẳng thức:
\(\frac{x^n\left(x^{x+1}+1\right)}{x^n+1}\le\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2n+1}\)
a) 9x2 - 36
=(3x)2-62
=(3x-6)(3x+6)
=4(x-3)(x+3)
b) 2x3y-4x2y2+2xy3
=2xy(x2-2xy+y2)
=2xy(x-y)2
c) ab - b2-a+b
=ab-a-b2+b
=(ab-a)-(b2-b)
=a(b-1)-b(b-1)
=(b-1)(a-b)
P/s đùng để ý đến câu trả lời của mình
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng với mọi số thực x,y dương, ta có bất dẳng thức:
\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Ta có:
\(\frac{1}{x+y}\) \(\le\)\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\))
=> \(\frac{1}{x+y}\)\(\le\)\(\frac{x+y}{4xy}\)
=> 4xy \(\le\)(x+y)2
=> 2xy \(\le\)x2+y2
x^2 +y ^2-2xy luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nhé! Vội quá, không giải nữa nha!
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1.Chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}+\frac{1}{\left(x+2y+z\right)^2}+\frac{1}{\left(x+y+2z\right)^2}\le\frac{3}{16}\)
bài 1
a) cho B = \(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{7}{2^3}+...+\frac{2^{100}-1}{2^{100}}\). Chứng minh B >99
b)chứng minh \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...\left(2n\right)⋮2^n\)với n nguyên dương
c) cho đa thức f(x) = ax^3 + bx^3 + cx + d . với f(0) và f(1) là các số lẻ. CMR f(x) không có nghiệm là số nguyên.
CMR với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :
\(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)
Ta chứng minh \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\) (1)
với mọi n \(\in\)N* , bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1, ta có \(2^2=4=\frac{2.1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{3}\)
=> (1) đúng khi n = 1
Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k\(\in\)N* , tức là giả sử đã có :
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}\)
Ta chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 , tức là ta sẽ chứng minh
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)
=> Từ giả thiết quy nạp ta có :
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}+\left(2k+2\right)^2\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{3}\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{3}\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)
Từ các chứng minh trên , suy ra (1) đúng với mọi n \(\in\)N*
Đúng 0
Bình luận (0)
cho các số thực dương x,y,x thỏa mãn xy ≥ 1 và z ≥1
Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{z^3+2}{3\left(xy+1\right)}\ge\frac{3}{2}\)
1. Tìm tất cả các số thực x thỏa mãn
left|x+frac{1}{10}right|+left|x+frac{2}{10}right|+...+left|x+frac{9}{10}right|10x
2. Chứng minh rằng :
a) frac{1}{4}+frac{1}{4^2}+...+frac{1}{4^n} frac{1}{3} với mọi số nguyên dương n
b)frac{1}{4}+frac{1}{4^2}+...+frac{1}{4^n} frac{4}{9} với mọi số nguyên dương n
3. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z frac{x}{y+z+3}frac{y}{z+x+2}+frac{z}{z+y-5}
4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện frac{a}{b+3c}frac{b}{c+3a}frac{c}{a+3b} . Chứng minh rằng...
Đọc tiếp
1. Tìm tất cả các số thực x thỏa mãn
\(\left|x+\frac{1}{10}\right|+\left|x+\frac{2}{10}\right|+...+\left|x+\frac{9}{10}\right|=10x\)
2. Chứng minh rằng :
a) \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^n}< \frac{1}{3}\) với mọi số nguyên dương n
b)\(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^n}< \frac{4}{9}\) với mọi số nguyên dương n
3. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = \(\frac{x}{y+z+3}=\frac{y}{z+x+2}+\frac{z}{z+y-5}\)
4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện \(\frac{a}{b+3c}=\frac{b}{c+3a}=\frac{c}{a+3b}\) . Chứng minh rằng a=b=c
5. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \(\frac{a}{b+c-a}=\frac{b}{c+a-b}=\frac{c}{a+b-c}\) (giả sử các mẫu số đều khác 0). Tính giá trị biểu thức
P=\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
1.
\(10x=|x+\dfrac{1}{10}|+|x+\dfrac{2}{10}|+...+|x+\dfrac{9}{10}| \ge 0\)
\(\Rightarrow x\ge0\)
\(pt\Leftrightarrow x+\frac{1}{10}+x+\frac{2}{10}+...+x+\frac{9}{10}=10x\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+...+\frac{9}{10}=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{9}{2}\)
4.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
\(\frac{a}{b+3c}=\frac{b}{c+3a}=\frac{c}{a+3b}=\frac{a+b+c}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a=b+3c\left(1\right)\\4b=c+3a\left(2\right)\\4c=a+3b\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow4a=b+3\left(4b-3a\right)\)
\(\Rightarrow12a=12b\Rightarrow a=b\left(4\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(3\right)\Rightarrow4c=a+3\left(4a-3c\right)\)
\(\Rightarrow12a=12c\Rightarrow a=c\left(5\right)\)
Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
a, \(M=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^n}\)
\(\Rightarrow4M=1+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4^{n-1}}\)
\(\Rightarrow3M=1-\frac{1}{4^n}< 1\Rightarrow M< \frac{1}{3}\left(đpcm\right)\)
b, Lập luận tương tự câu a
\(M=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^n}\)
\(\Rightarrow4M=1+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4^{n-1}}\)
\(\Rightarrow3M=1-\frac{1}{4^n}< 1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\Rightarrow M< \frac{4}{9}\left(đpcm\right)\)
Xem thêm câu trả lời
Biết phàn nguyên của 1 số x, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x
CMR với mọi số nguyên dương n ta có \(\left[\frac{n}{2}\right]+\left[\frac{n+1}{2}\right]=n\)
Áp dụng Tìm các số nguyên dương n để n2 + 11n + \(\left[\frac{n}{2}\right]+\left[\frac{n+1}{2}\right]\)là số chính phương
Biết phàn nguyên của 1 số x, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x
CMR với mọi số nguyên dương n ta có \(\left[\frac{n}{2}\right]+\left[\frac{n+1}{2}\right]=n\)
Áp dụng Tìm các số nguyên dương n để n2 + 11n + \(\left[\frac{n}{2}\right]+\left[\frac{n+1}{2}\right]\)là số chính phương
Em Xét 2 trường hợp: n = 2k và n = 2k + 1
Đúng 0
Bình luận (0)